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淺談充分必要條件的判斷與證明

2011-07-20  生活-快樂
淺談充分必要條件的判斷與證明

博興縣第二中學    曹連偉    2011年7月20日 09:18

劉玉華于11-7-20 10:16推薦充分必要條件的判斷與證明例題典型,總結全面
朱恒杰于11-7-20 11:44推薦對充分必要條件的判斷與證明方法總結的詳盡全面,有學習和借鑒價值。
   對于充分、必要條件的判斷與證明,有些初學的同學感覺困難,下面就結合典型例題介紹幾種充要條件的判定與證明方法,有認識不到位的地方,望老師們批評指正。

一、充分條件與必要條件的判定

判斷一個命題是另一個命題的什么條件,關鍵是利用定義。如果p?q,則p叫做q的充分條件,原命題(或逆否命題)成立,命題中的條件是充分的,也可稱qp的必要條件;如果q?p,則p叫做q的必要條件,逆命題(或否命題)成立,命題中的條件為必要的,也可稱qp的充分條件;如果既有p?q,又有q?p,記作p?q,則p叫做q的充分必要條件,簡稱充要條件,原命題和逆命題(或逆否命題和否命題)都成立,命題中的條件是充要的。

1、定義法

利用定義判斷命題的充分、必要條件應該明確:①確定條件是什么,結論是什么;②嘗試從條件推導結論,從結論推導條件;③確定條件是結論的什么條件.具體情況如下:

 

【歸納總結】利用定義判斷充分、必要條件要注意從兩個方向進行判斷。判斷過程中,一般通過舉反例來判斷條件與結論之間的不能推出關系。

2命題法

p為條件,q為結論,由此構造一個命題:如果p,則q,則

(1)如果原命題成立,逆命題不成立,則原命題的條件是充分不必要的;

(2)如果原命題不成立,逆命題成立,則原命題的條件是必要一充分的;

(3)如果原命題和它的逆命題都成立,則原命題的條件是充要的;

(4)如果原命題和它的逆命題都不成立,則原命題的條件是既不充分又必要的。

【歸納總結】

 

3、傳遞法

由于邏輯聯結符號“T”、“ü”、“?”具有傳遞性,因此可根據幾個條件的關系,經過若干次的傳遞,再判斷兩個條件之間的條件關系。

【歸納總結】利用“T”、“ü”、“?”連結條件要注意考慮兩個方向,即按“T”與“ü”傳遞的方向。

4、集合法

p為條件,q為結論,且設p所對應的集合為A{x|p}q所對應的集合為B

【歸納總結(1)要分清充分性和必要性;

(2)注意兩種說法“pq的必要不充分條件”與“q的必要不充分條件是p”是等價的;

(3)從集合的角度理解,小范圍可以推出大范圍,大范圍不能推出小范圍。

二、充要條件的證明

證明分為兩個環節,一是充分性;二是必要性。證明時,不要認為它是推理過程的“雙向書寫”,而應該進行由條件到結論,由結論到條件的兩次證明。

【歸納總結】(1)條件已知證明結論成立是充分性。結論已知推出條件成立是必要性;

(2)證明時易出現必要性與充分性混淆的情形,這就要分清哪是條件,哪是結論。

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